Resolver {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+7y=63$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-7y+63$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -7y+63.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Substitúe x por -\frac{7y}{3}+21 na outra ecuación, 2x+4y=38.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Multiplica 2 por -\frac{7y}{3}+21.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Suma -\frac{14y}{3} a 4y.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{7}{3}y+21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Multiplica -\frac{7}{3} por 6.

$$x=-14+21$$

Suma 21 a -14.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Simplifica.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Resta 6x+12y=114 de 6x+14y=126 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-12y=126-114$$

Suma 14y a -12y.

$$2y=126-114$$

Suma 126 a -114.

$$2y=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 2x+4y=38. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times 6=38$$

Multiplica 4 por 6.

$$2x+24=38$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=6$$