Resolver {l}{3x+7y=6}{x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-33$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+7y=6$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-7y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -7y+6.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

Substitúe x por -\frac{7y}{3}+2 na outra ecuación, x+3y=12.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

Suma -\frac{7y}{3} a 3y.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=-\frac{7}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

Multiplica -\frac{7}{3} por 15.

$$x=-35+2$$

Suma 2 a -35.

$$x=-33$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-33,y=15$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-33,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

Simplifica.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

Resta 3x+9y=36 de 3x+7y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-9y=6-36$$

Suma 7y a -9y.

$$-2y=6-36$$

Suma 6 a -36.

$$-2y=-30$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x+3y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\times 15=12$$

Multiplica 3 por 15.

$$x+45=12$$

Resta 45 en ambos lados da ecuación.

$$x=-33$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-33,y=15$$