Resolver {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=7$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+7.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+7}{3} na outra ecuación, 2x+y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

Multiplica 2 por \frac{-5y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

Suma -\frac{10y}{3} a y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

Resta \frac{14}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{41}{7}$$

Substitúe y por \frac{41}{7} en x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por \frac{41}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{205}{21} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{52}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

Simplifica.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

Resta 6x+3y=-27 de 6x+10y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-3y=14+27$$

Suma 10y a -3y.

$$7y=14+27$$

Suma 14 a 27.

$$7y=41$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{41}{7}$$

Substitúe y por \frac{41}{7} en 2x+y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

Resta \frac{41}{7} en ambos lados da ecuación.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{52}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$