Resolver {l}{3x+5y=10}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=10$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+10$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+10.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+10}{3} na outra ecuación, 2x-y=5.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

Multiplica 2 por \frac{-5y+10}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

Suma -\frac{10y}{3} a -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

Resta \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{13}$$

Substitúe y por \frac{5}{13} en x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por \frac{5}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} a -\frac{25}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{35}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

Simplifica.

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

Resta 6x-3y=15 de 6x+10y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+3y=20-15$$

Suma 10y a 3y.

$$13y=20-15$$

Suma 20 a -15.

$$13y=5$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{5}{13}$$

Substitúe y por \frac{5}{13} en 2x-y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

Suma \frac{5}{13} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{70}{13}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{35}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$