Resolver {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 22x en ambos lados.

$$-5x+2y+22x=0$$

Combina -5x e 22x para obter 17x.

$$17x+2y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=-24$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y-24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Substitúe x por -\frac{5y}{3}-8 na outra ecuación, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Multiplica 17 por -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Suma -\frac{85y}{3} a 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Suma 136 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{79}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Substitúe y por -\frac{408}{79} en x=-\frac{5}{3}y-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -\frac{408}{79} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Suma -8 a \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 22x en ambos lados.

$$-5x+2y+22x=0$$

Combina -5x e 22x para obter 17x.

$$17x+2y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 22x en ambos lados.

$$-5x+2y+22x=0$$

Combina -5x e 22x para obter 17x.

$$17x+2y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Para que 3x e 17x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 17 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Simplifica.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Resta 51x+6y=0 de 51x+85y=-408 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Suma 51x a -51x. 51x e -51x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$85y-6y=-408$$

Suma 85y a -6y.

$$79y=-408$$

Divide ambos lados entre 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

Substitúe y por -\frac{408}{79} en 17x+2y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Multiplica 2 por -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Suma \frac{816}{79} en ambos lados da ecuación.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Divide ambos lados entre 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$