Resolver {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=85$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+85$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+85.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+85}{3} na outra ecuación, x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

Suma -\frac{4y}{3} a y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

Resta \frac{85}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por 10.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

Suma \frac{85}{3} a -\frac{40}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

Simplifica.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

Resta 3x+3y=75 de 3x+4y=85 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-3y=85-75$$

Suma 4y a -3y.

$$y=85-75$$

Suma 85 a -75.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x+y=25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+10=25$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=10$$