Resolver {l}{3x+4y=6}{6x+1y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 6 } \\ { 6 x + 1 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{10}{21}\approx 0.476190476$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=6$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+6.

$$x=-\frac{4}{3}y+2$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3}+2 na outra ecuación, 6x+y=4.

$$6\left(-\frac{4}{3}y+2\right)+y=4$$

Multiplica 6 por -\frac{4y}{3}+2.

$$-8y+12+y=4$$

Suma -8y a y.

$$-7y+12=4$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-8$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{8}{7}$$

Substitúe y por \frac{8}{7} en x=-\frac{4}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{7}+2$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{8}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{32}{21}+2$$

Suma 2 a -\frac{32}{21}.

$$x=\frac{10}{21}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 6}&-\frac{4}{3-4\times 6}\\-\frac{6}{3-4\times 6}&\frac{3}{3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{21}\times 6+\frac{4}{21}\times 4\\\frac{2}{7}\times 6-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=6,6x+y=4$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6\times 4y=6\times 6,3\times 6x+3y=3\times 4$$

Simplifica.

$$18x+24y=36,18x+3y=12$$

Resta 18x+3y=12 de 18x+24y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+24y-3y=36-12$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-3y=36-12$$

Suma 24y a -3y.

$$21y=36-12$$

Suma 36 a -12.

$$21y=24$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=\frac{8}{7}$$

Substitúe y por \frac{8}{7} en 6x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+\frac{8}{7}=4$$

Resta \frac{8}{7} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{20}{7}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{10}{21}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{21},y=\frac{8}{7}$$