Resolver {l}{3x+4y=5-6}{2x-3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 - 6 } \\ { 2 x - 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{29}{17} = 1\frac{12}{17} \approx 1.705882353$$

$$y = -\frac{26}{17} = -1\frac{9}{17} \approx -1.529411765$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=-1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y-1.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y-1}{3} na outra ecuación, 2x-3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}\right)-3y=8$$

Multiplica 2 por \frac{-4y-1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y-\frac{2}{3}-3y=8$$

Suma -\frac{8y}{3} a -3y.

$$-\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=8$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{3}y=\frac{26}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Substitúe y por -\frac{26}{17} en x=-\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{26}{17}\right)-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{26}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{104}{51}-\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{104}{51} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{29}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-1\right)+\frac{4}{17}\times 8\\\frac{2}{17}\left(-1\right)-\frac{3}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{17}\\-\frac{26}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=-1,2x-3y=8$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\left(-1\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 8$$

Simplifica.

$$6x+8y=-2,6x-9y=24$$

Resta 6x-9y=24 de 6x+8y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+8y+9y=-2-24$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+9y=-2-24$$

Suma 8y a 9y.

$$17y=-2-24$$

Suma -2 a -24.

$$17y=-26$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-\frac{26}{17}$$

Substitúe y por -\frac{26}{17} en 2x-3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-\frac{26}{17}\right)=8$$

Multiplica -3 por -\frac{26}{17}.

$$2x+\frac{78}{17}=8$$

Resta \frac{78}{17} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{58}{17}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{29}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{29}{17},y=-\frac{26}{17}$$