Resolver {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=3$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3}+1 na outra ecuación, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

Multiplica 8 por -\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

Suma -\frac{32y}{3} a 7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Substitúe y por -\frac{18}{11} en x=-\frac{4}{3}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{18}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

Suma 1 a \frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Para que 3x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Simplifica.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Resta 24x+21y=42 de 24x+32y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y-21y=24-42$$

Suma 32y a -21y.

$$11y=24-42$$

Suma 24 a -42.

$$11y=-18$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

Substitúe y por -\frac{18}{11} en 8x+7y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

Multiplica 7 por -\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Suma \frac{126}{11} en ambos lados da ecuación.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{35}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$