Resolver {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=28$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+28$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+28}{3} na outra ecuación, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

Multiplica 9 por \frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

Suma -12y a -6y.

$$-18y+84=8$$

Resta 84 en ambos lados da ecuación.

$$-18y=-76$$

Divide ambos lados entre -18.

$$y=\frac{38}{9}$$

Substitúe y por \frac{38}{9} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{38}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Suma \frac{28}{3} a -\frac{152}{27} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{100}{27}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Para que 3x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Simplifica.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Resta 27x-18y=24 de 27x+36y=252 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

Suma 27x a -27x. 27x e -27x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y+18y=252-24$$

Suma 36y a 18y.

$$54y=252-24$$

Suma 252 a -24.

$$54y=228$$

Divide ambos lados entre 54.

$$y=\frac{38}{9}$$

Substitúe y por \frac{38}{9} en 9x-6y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

Multiplica -6 por \frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Suma \frac{76}{3} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{100}{27}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$