Resolver {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=253$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+253$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+253}{3} na outra ecuación, -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Multiplica -5 por \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Suma \frac{20y}{3} a y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Suma \frac{1265}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=55$$

Substitúe y por 55 en x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Suma \frac{253}{3} a -\frac{220}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=55$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=11,y=55$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Para que 3x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Simplifica.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Resta -15x+3y=0 de -15x-20y=-1265 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y-3y=-1265$$

Suma -20y a -3y.

$$-23y=-1265$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=55$$

Substitúe y por 55 en -5x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+55=0$$

Resta 55 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-55$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=55$$