Resolver {l}{3x+4y=1}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+1}{3} na outra ecuación, 4x+y=2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

Multiplica 4 por \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

Suma -\frac{16y}{3} a y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Substitúe y por -\frac{2}{13} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{2}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{8}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

Simplifica.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

Resta 12x+3y=6 de 12x+16y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y-3y=4-6$$

Suma 16y a -3y.

$$13y=4-6$$

Suma 4 a -6.

$$13y=-2$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

Substitúe y por -\frac{2}{13} en 4x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

Suma \frac{2}{13} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{28}{13}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{7}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$