Resolver {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y+1}{3} na outra ecuación, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

Multiplica 2 por \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

Suma -\frac{8y}{3} a 3y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

Resta \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -5.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

Resta 6x+9y=-3 de 6x+8y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-9y=2+3$$

Suma 8y a -9y.

$$-y=2+3$$

Suma 2 a 3.

$$-y=5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 2x+3y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

Multiplica 3 por -5.

$$2x-15=-1$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-5$$