Resolver {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=-4$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y-4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4y-4.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4y-4}{3} na outra ecuación, 4x+3y=6.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

Multiplica 4 por \frac{-4y-4}{3}.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

Suma -\frac{16y}{3} a 3y.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

Suma \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Substitúe y por -\frac{34}{7} en x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{34}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

Suma -\frac{4}{3} a \frac{136}{21} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{36}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

Simplifica.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

Resta 12x+9y=18 de 12x+16y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y-9y=-16-18$$

Suma 16y a -9y.

$$7y=-16-18$$

Suma -16 a -18.

$$7y=-34$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Substitúe y por -\frac{34}{7} en 4x+3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

Multiplica 3 por -\frac{34}{7}.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

Suma \frac{102}{7} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{144}{7}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{36}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$