Resolver {l}{3x+4=y}{9x-5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x+4-y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$9x-5-y=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=-4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y-4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y-4.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4+y}{3} na outra ecuación, 9x-y=5.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

Multiplica 9 por \frac{-4+y}{3}.

$$3y-12-y=5$$

Suma 3y a -y.

$$2y-12=5$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$2y=17$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{17}{2}$$

Substitúe y por \frac{17}{2} en x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por \frac{17}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

Suma -\frac{4}{3} a \frac{17}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x+4-y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$9x-5-y=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$3x+4-y=0$$

Resta 4 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$9x-5-y=0$$

Engadir 5 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

Resta 9x-y=5 de 3x-y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-9x=-4-5$$

Suma 3x a -9x.

$$-6x=-4-5$$

Suma -4 a -5.

$$-6x=-9$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3}{2} en 9x-y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

Multiplica 9 por \frac{3}{2}.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

Resta \frac{27}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=\frac{17}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$