Resolver {l}{3x+3y=12}{3x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+3y=12$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-3y+12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -3y+12.

$$x=-y+4$$

Substitúe x por -y+4 na outra ecuación, 3x+2y=13.

$$3\left(-y+4\right)+2y=13$$

Multiplica 3 por -y+4.

$$-3y+12+2y=13$$

Suma -3y a 2y.

$$-y+12=13$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-y=1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-1\right)+4$$

Multiplica -1 por -1.

$$x=1+4$$

Suma 4 a 1.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}&\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 12+13\\12-13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

Resta 3x+2y=13 de 3x+3y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+3y-2y=12-13$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-2y=12-13$$

Suma 3y a -2y.

$$y=12-13$$

Suma 12 a -13.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\left(-1\right)=13$$

Multiplica 2 por -1.

$$3x-2=13$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-1$$