Resolver {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=8$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+8}{3} na outra ecuación, 2x+3y=9.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

Multiplica 2 por \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Suma -\frac{4y}{3} a 3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

Resta \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{11}{5}$$

Substitúe y por \frac{11}{5} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{11}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a -\frac{22}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Simplifica.

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

Resta 6x+9y=27 de 6x+4y=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-9y=16-27$$

Suma 4y a -9y.

$$-5y=16-27$$

Suma 16 a -27.

$$-5y=-11$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{11}{5}$$

Substitúe y por \frac{11}{5} en 2x+3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

Multiplica 3 por \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

Resta \frac{33}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{12}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$