Resolver {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=7$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+7}{3} na outra ecuación, 5x-2y=-5.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

Multiplica 5 por \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

Suma -\frac{10y}{3} a -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

Resta \frac{35}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{16}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{25}{8}$$

Substitúe y por \frac{25}{8} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{25}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{25}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

Para que 3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

Resta 15x-6y=-15 de 15x+10y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+6y=35+15$$

Suma 10y a 6y.

$$16y=35+15$$

Suma 35 a 15.

$$16y=50$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=\frac{25}{8}$$

Substitúe y por \frac{25}{8} en 5x-2y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

Multiplica -2 por \frac{25}{8}.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

Suma \frac{25}{4} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{5}{4}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$