Resolver {l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=7$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+7}{3} na outra ecuación, 4x+6y=13.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

Multiplica 4 por \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

Suma -\frac{8y}{3} a 6y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

Resta \frac{28}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{11}{10}$$

Substitúe y por \frac{11}{10} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{11}{10} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -\frac{11}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

Simplifica.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

Resta 12x+18y=39 de 12x+8y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-18y=28-39$$

Suma 8y a -18y.

$$-10y=28-39$$

Suma 28 a -39.

$$-10y=-11$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=\frac{11}{10}$$

Substitúe y por \frac{11}{10} en 4x+6y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

Multiplica 6 por \frac{11}{10}.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

Resta \frac{33}{5} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{32}{5}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{8}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$