Resolver {l}{3x+2y=3}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-12$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=3$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+3.

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}+1 na outra ecuación, x-y=21.

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

Suma -\frac{2y}{3} a -y.

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{3}y=20$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en x=-\frac{2}{3}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -12.

$$x=8+1$$

Suma 1 a 8.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-12$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-12$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

Simplifica.

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

Resta 3x-3y=63 de 3x+2y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+3y=3-63$$

Suma 2y a 3y.

$$5y=3-63$$

Suma 3 a -63.

$$5y=-60$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-12$$

Substitúe y por -12 en x-y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\left(-12\right)=21$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-12$$