Resolver {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=12$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}+4 na outra ecuación, 4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

Multiplica 4 por -\frac{2y}{3}+4.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

Suma -\frac{8y}{3} a -y.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{15}{11}$$

Substitúe y por \frac{15}{11} en x=-\frac{2}{3}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{15}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

Suma 4 a -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{34}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Simplifica.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

Resta 12x-3y=33 de 12x+8y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+3y=48-33$$

Suma 8y a 3y.

$$11y=48-33$$

Suma 48 a -33.

$$11y=15$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{15}{11}$$

Substitúe y por \frac{15}{11} en 4x-y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

Suma \frac{15}{11} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{136}{11}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{34}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$