Resolver {l}{3x+2y=11}{4x+9y=117}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=11$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+11$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+11.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y+11}{3} na outra ecuación, 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

Multiplica 4 por \frac{-2y+11}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

Suma -\frac{8y}{3} a 9y.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

Resta \frac{44}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{307}{19}$$

Substitúe y por \frac{307}{19} en x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{307}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Suma \frac{11}{3} a -\frac{614}{57} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{135}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Simplifica.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

Resta 12x+27y=351 de 12x+8y=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-27y=44-351$$

Suma 8y a -27y.

$$-19y=44-351$$

Suma 44 a -351.

$$-19y=-307$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=\frac{307}{19}$$

Substitúe y por \frac{307}{19} en 4x+9y=117. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

Multiplica 9 por \frac{307}{19}.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

Resta \frac{2763}{19} en ambos lados da ecuación.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{135}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$