Resolver {l}{3x+2y=0}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 0 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=0,x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=0$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)y$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y.

$$x=-\frac{2}{3}y$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3} na outra ecuación, x+y=1.

$$-\frac{2}{3}y+y=1$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y=1$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{2}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 3.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=0,x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=0,x+y=1$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+2y=0,3x+3y=3$$

Resta 3x+3y=3 de 3x+2y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+2y-3y=-3$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-3y=-3$$

Suma 2y a -3y.

$$-y=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3=1$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$