Resolver {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=-8$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y-8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-8}{3} na outra ecuación, -x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

Multiplica -1 por \frac{-2y-8}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

Suma \frac{2y}{3} a -2y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -7.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

Suma -\frac{8}{3} a \frac{14}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

Para que 3x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifica.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

Resta -3x-6y=36 de -3x-2y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+6y=8-36$$

Suma -2y a 6y.

$$4y=8-36$$

Suma 8 a -36.

$$4y=-28$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en -x-2y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

Multiplica -2 por -7.

$$-x+14=12$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-7$$