Resolver {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=-10$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y-10$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y-10.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-10}{3} na outra ecuación, 2x-10y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

Multiplica 2 por \frac{-2y-10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

Suma -\frac{4y}{3} a -10y.

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

Suma \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{34}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -\frac{1}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1-10}{3}$$

Suma -\frac{10}{3} a \frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

Resta 6x-30y=-3 de 6x+4y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+30y=-20+3$$

Suma 4y a 30y.

$$34y=-20+3$$

Suma -20 a 3.

$$34y=-17$$

Divide ambos lados entre 34.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en 2x-10y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Multiplica -10 por -\frac{1}{2}.

$$2x+5=-1$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$