Resolver {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=-1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y-1.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-1}{3} na outra ecuación, 6x+6y=-5.

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

Multiplica 6 por \frac{-2y-1}{3}.

$$-4y-2+6y=-5$$

Suma -4y a 6y.

$$2y-2=-5$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Substitúe y por -\frac{3}{2} en x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -\frac{3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a 1.

$$x=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

Resta 18x+18y=-15 de 18x+12y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-18y=-6+15$$

Suma 12y a -18y.

$$-6y=-6+15$$

Suma -6 a 15.

$$-6y=9$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Substitúe y por -\frac{3}{2} en 6x+6y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

Multiplica 6 por -\frac{3}{2}.

$$6x-9=-5$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$6x=4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$