Resolver {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+10y=11$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-10y+11$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Substitúe x por \frac{-10y+11}{3} na outra ecuación, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

Multiplica -10 por \frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

Suma \frac{100y}{3} a -8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Suma \frac{110}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{76}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Multiplica -\frac{10}{3} por 2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Suma \frac{11}{3} a -\frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Para que 3x e -10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -10 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Simplifica.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Resta -30x-24y=42 de -30x-100y=-110 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-100y+24y=-110-42$$

Suma -100y a 24y.

$$-76y=-110-42$$

Suma -110 a -42.

$$-76y=-152$$

Divide ambos lados entre -76.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -10x-8y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-10x-8\times 2=14$$

Multiplica -8 por 2.

$$-10x-16=14$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$-10x=30$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$