Resolver {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a w mediante o illamento de w no lado esquerdo do signo igual.

$$3w-2z=5$$

Suma 2z en ambos lados da ecuación.

$$3w=2z+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Substitúe w por \frac{2z+5}{3} na outra ecuación, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Suma \frac{2z}{3} a 2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$z=5$$

Substitúe z por 5 en w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por 5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$w=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=5,z=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz w e z.

$$w=5,z=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Para que 3w e w sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Simplifica.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Resta 3w+6z=45 de 3w-2z=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Suma 3w a -3w. 3w e -3w anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2z-6z=5-45$$

Suma -2z a -6z.

$$-8z=5-45$$

Suma 5 a -45.

$$-8z=-40$$

Divide ambos lados entre -8.

$$z=5$$

Substitúe z por 5 en w+2z=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar w directamente.

$$w+2\times 5=15$$

Multiplica 2 por 5.

$$w+10=15$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$w=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$w=5,z=5$$