Resolver {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver u, z

$$z=3$$

$$u=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$3u+z=15$$

Resta z en ambos lados da ecuación.

$$3u=-z+15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -z+15.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Substitúe u por -\frac{z}{3}+5 na outra ecuación, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

Suma -\frac{z}{3} a 2z.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$z=3$$

Substitúe z por 3 en u=-\frac{1}{3}z+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 3.

$$u=-1+5$$

Suma 5 a -1.

$$u=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=4,z=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e z.

$$u=4,z=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Para que 3u e u sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Simplifica.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Resta 3u+6z=30 de 3u+z=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

Suma 3u a -3u. 3u e -3u anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$z-6z=15-30$$

Suma z a -6z.

$$-5z=15-30$$

Suma 15 a -30.

$$-5z=-15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$z=3$$

Substitúe z por 3 en u+2z=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u+2\times 3=10$$

Multiplica 2 por 3.

$$u+6=10$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$u=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=4,z=3$$