Resolver {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$3u+5x=8$$

Resta 5x en ambos lados da ecuación.

$$3u=-5x+8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Substitúe u por \frac{-5x+8}{3} na outra ecuación, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Multiplica 5 por \frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Suma -\frac{25x}{3} a 5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Resta \frac{40}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Substitúe x por -\frac{1}{5} en u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -\frac{1}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a \frac{1}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$u=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Resta 5u+5x=14 de 3u+5x=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3u-5u=8-14$$

Suma 3u a -5u.

$$-2u=8-14$$

Suma 8 a -14.

$$-2u=-6$$

Divide ambos lados entre -2.

$$u=3$$

Substitúe u por 3 en 5u+5x=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5\times 3+5x=14$$

Multiplica 5 por 3.

$$15+5x=14$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$