Resolver {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a c mediante o illamento de c no lado esquerdo do signo igual.

$$3c+5z=-15$$

Resta 5z en ambos lados da ecuación.

$$3c=-5z-15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Substitúe c por -\frac{5z}{3}-5 na outra ecuación, 5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Multiplica 5 por -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Suma -\frac{25z}{3} a 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{16}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$z=-3$$

Substitúe z por -3 en c=-\frac{5}{3}z-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -3.

$$c=5-5$$

Suma -5 a 5.

$$c=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=0,z=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz c e z.

$$c=0,z=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Para que 3c e 5c sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Simplifica.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Resta 15c+9z=-27 de 15c+25z=-75 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Suma 15c a -15c. 15c e -15c anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25z-9z=-75+27$$

Suma 25z a -9z.

$$16z=-75+27$$

Suma -75 a 27.

$$16z=-48$$

Divide ambos lados entre 16.

$$z=-3$$

Substitúe z por -3 en 5c+3z=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Multiplica 3 por -3.

$$5c-9=-9$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$5c=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$c=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=0,z=-3$$