Resolver {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a c mediante o illamento de c no lado esquerdo do signo igual.

$$3c+2x=5$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$3c=-2x+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Substitúe c por \frac{-2x+5}{3} na outra ecuación, 2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

Multiplica 2 por \frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

Suma -\frac{4x}{3} a 4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

Resta \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$c=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=1,x=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz c e x.

$$c=1,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Para que 3c e 2c sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

Simplifica.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

Resta 6c+12x=18 de 6c+4x=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

Suma 6c a -6c. 6c e -6c anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-12x=10-18$$

Suma 4x a -12x.

$$-8x=10-18$$

Suma 10 a -18.

$$-8x=-8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en 2c+4x=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$2c+4=6$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$2c=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$c=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=1,x=1$$