Resolver {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$3a+b=-3$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$3a=-b-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Substitúe a por -\frac{b}{3}-1 na outra ecuación, 2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Multiplica 2 por -\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Suma -\frac{2b}{3} a -b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Substitúe b por -\frac{3}{5} en a=-\frac{1}{3}b-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -\frac{3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Suma -1 a \frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Para que 3a e 2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Resta 6a-3b=-3 de 6a+2b=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Suma 6a a -6a. 6a e -6a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2b+3b=-6+3$$

Suma 2b a 3b.

$$5b=-6+3$$

Suma -6 a 3.

$$5b=-3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

Substitúe b por -\frac{3}{5} en 2a-b=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Resta \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$