Resolver {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver a, u

$$a=4$$

$$u=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$3a+5u=17$$

Resta 5u en ambos lados da ecuación.

$$3a=-5u+17$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

Substitúe a por \frac{-5u+17}{3} na outra ecuación, 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

Multiplica 2 por \frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

Suma -\frac{10u}{3} a u.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

Resta \frac{34}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$u=1$$

Substitúe u por 1 en a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

Suma \frac{17}{3} a -\frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=4,u=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e u.

$$a=4,u=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

Para que 3a e 2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

Simplifica.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

Resta 6a+3u=27 de 6a+10u=34 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

Suma 6a a -6a. 6a e -6a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10u-3u=34-27$$

Suma 10u a -3u.

$$7u=34-27$$

Suma 34 a -27.

$$7u=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$u=1$$

Substitúe u por 1 en 2a+u=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a+1=9$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$2a=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=4,u=1$$