Resolver {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Resolver A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$3A-13c=-255$$

Suma 13c en ambos lados da ecuación.

$$3A=13c-255$$

Divide ambos lados entre 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Substitúe A por \frac{13c}{3}-85 na outra ecuación, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Multiplica 31 por \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Suma \frac{403c}{3} a -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Suma 2635 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{385}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Substitúe c por \frac{1473}{77} en A=\frac{13}{3}c-85. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Multiplica \frac{13}{3} por \frac{1473}{77} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Suma -85 a \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Para que 3A e 31A sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 31 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Simplifica.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Resta 93A-18c=-540 de 93A-403c=-7905 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Suma 93A a -93A. 93A e -93A anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-403c+18c=-7905+540$$

Suma -403c a 18c.

$$-385c=-7905+540$$

Suma -7905 a 540.

$$-385c=-7365$$

Divide ambos lados entre -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

Substitúe c por \frac{1473}{77} en 31A-6c=-180. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Multiplica -6 por \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Suma \frac{8838}{77} en ambos lados da ecuación.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Divide ambos lados entre 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$