Resolver {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$6x+2y=-41+15$$

Suma -41 e 15 para obter -26.

$$6x+2y=-26$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 9.

$$x-3y-9y=45$$

Combina -3y e -9y para obter -12y.

$$x-12y=45$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+2y=-26$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-2y-26$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y-13}{3} na outra ecuación, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Suma -\frac{y}{3} a -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Suma \frac{13}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{37}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Suma -\frac{13}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$6x+2y=-41+15$$

Suma -41 e 15 para obter -26.

$$6x+2y=-26$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 9.

$$x-3y-9y=45$$

Combina -3y e -9y para obter -12y.

$$x-12y=45$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Engadir 15 en ambos lados.

$$6x+2y=-41+15$$

Suma -41 e 15 para obter -26.

$$6x+2y=-26$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 9.

$$x-3y-9y=45$$

Combina -3y e -9y para obter -12y.

$$x-12y=45$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Para que 6x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Simplifica.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Resta 6x-72y=270 de 6x+2y=-26 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+72y=-26-270$$

Suma 2y a 72y.

$$74y=-26-270$$

Suma -26 a -270.

$$74y=-296$$

Divide ambos lados entre 74.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x-12y=45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Multiplica -12 por -4.

$$x+48=45$$

Resta 48 en ambos lados da ecuación.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-4$$