Resolver {l}{3/2x+6y=19/8}{1/2x-9y=-23/8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 6 y = \frac { 19 } { 8 } } \\ { 1 / 2 x - 9 y = \frac { - 23 } { 8 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)$$

Multiplica \frac{2}{3} por -6y+\frac{19}{8}.

$$x=-4y+\frac{19}{12}$$

Substitúe x por -4y+\frac{19}{12} na outra ecuación, \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}.

$$\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+\frac{19}{12}.

$$-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}$$

Suma -2y a -9y.

$$-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}$$

Resta \frac{19}{24} en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-\frac{11}{3}$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en x=-4y+\frac{19}{12}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}$$

Multiplica -4 por \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}$$

Suma \frac{19}{12} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}$$

Para que \frac{3x}{2} e \frac{x}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{2} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}$$

Resta \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16} de \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Suma \frac{3x}{4} a -\frac{3x}{4}. \frac{3x}{4} e -\frac{3x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Suma 3y a \frac{27y}{2}.

$$\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}$$

Suma \frac{19}{16} a \frac{69}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{33}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}$$

Multiplica -9 por \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$$