Resolver {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$25x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$25x=-y+9$$

Divide ambos lados entre 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{25} por -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Substitúe x por \frac{-y+9}{25} na outra ecuación, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Multiplica 1.6 por \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Suma -\frac{8y}{125} a \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Resta \frac{72}{125} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{125}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Substitúe y por \frac{1553}{17} en x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Multiplica -\frac{1}{25} por \frac{1553}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Suma \frac{9}{25} a -\frac{1553}{425} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{56}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Para que 25x e \frac{8x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1.6 e todos os termos a cada lado da segunda por 25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Simplifica.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Resta 40x+5y=325 de 40x+1.6y=14.4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Suma \frac{8y}{5} a -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

Suma 14.4 a -325.

$$-3.4y=-310.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -3.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1553}{17}$$

Substitúe y por \frac{1553}{17} en 1.6x+0.2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Multiplica 0.2 por \frac{1553}{17} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Resta \frac{1553}{85} en ambos lados da ecuación.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{56}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$