Resolver {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Resolver c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a c mediante o illamento de c no lado esquerdo do signo igual.

$$25c+22T=152000$$

Resta 22T en ambos lados da ecuación.

$$25c=-22T+152000$$

Divide ambos lados entre 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Multiplica \frac{1}{25} por -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Substitúe c por -\frac{22T}{25}+6080 na outra ecuación, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Multiplica 11 por -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Suma -\frac{242T}{25} a 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Resta 66880 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{58}{25}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$T=3500$$

Substitúe T por 3500 en c=-\frac{22}{25}T+6080. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Multiplica -\frac{22}{25} por 3500.

$$c=-3080+6080$$

Suma 6080 a -3080.

$$c=3000$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=3000,T=3500$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz c e T.

$$c=3000,T=3500$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Para que 25c e 11c sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 11 e todos os termos a cada lado da segunda por 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Simplifica.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Resta 275c+300T=1875000 de 275c+242T=1672000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Suma 275c a -275c. 275c e -275c anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Suma 242T a -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

Suma 1672000 a -1875000.

$$-58T=-203000$$

Divide ambos lados entre -58.

$$T=3500$$

Substitúe T por 3500 en 11c+12T=75000. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar c directamente.

$$11c+12\times 3500=75000$$

Multiplica 12 por 3500.

$$11c+42000=75000$$

Resta 42000 en ambos lados da ecuación.

$$11c=33000$$

Divide ambos lados entre 11.

$$c=3000$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$c=3000,T=3500$$