Resolver {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$20a+3b=41$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$20a=-3b+41$$

Divide ambos lados entre 20.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

Multiplica \frac{1}{20} por -3b+41.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

Substitúe a por \frac{-3b+41}{20} na outra ecuación, 15a+7b=45.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

Multiplica 15 por \frac{-3b+41}{20}.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

Suma -\frac{9b}{4} a 7b.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

Resta \frac{123}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=3$$

Substitúe b por 3 en a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

Multiplica -\frac{3}{20} por 3.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

Suma \frac{41}{20} a -\frac{9}{20} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{8}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Para que 20a e 15a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 15 e todos os termos a cada lado da segunda por 20.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

Simplifica.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

Resta 300a+140b=900 de 300a+45b=615 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

Suma 300a a -300a. 300a e -300a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$45b-140b=615-900$$

Suma 45b a -140b.

$$-95b=615-900$$

Suma 615 a -900.

$$-95b=-285$$

Divide ambos lados entre -95.

$$b=3$$

Substitúe b por 3 en 15a+7b=45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$15a+7\times 3=45$$

Multiplica 7 por 3.

$$15a+21=45$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$15a=24$$

Divide ambos lados entre 15.

$$a=\frac{8}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$