Resolver {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2.5x+2.5y=17$$

Resta \frac{5y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

Multiplica 0.4 por -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

Substitúe x por -y+6.8 na outra ecuación, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

Multiplica -1.5 por -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

Suma \frac{3y}{2} a -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

Suma 10.2 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-22.8$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=3.8$$

Substitúe y por 3.8 en x=-y+6.8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3.8+6.8$$

Multiplica -1 por 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Suma 6.8 a -3.8 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=3.8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Para que \frac{5x}{2} e -\frac{3x}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1.5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Simplifica.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Resta -3.75x-18.75y=-82.5 de -3.75x-3.75y=-25.5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Suma -\frac{15x}{4} a \frac{15x}{4}. -\frac{15x}{4} e \frac{15x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

Suma -\frac{15y}{4} a \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Suma -25.5 a 82.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$15y=57$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=\frac{19}{5}$$

Substitúe y por \frac{19}{5} en -1.5x-7.5y=-33. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Multiplica -7.5 por \frac{19}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Suma \frac{57}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -1.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$