Resolver {l}{2.1x-0.8y=-9}{0.7x+0.9y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.1 x - 0.8 y = - 9 } \\ { 0.7 x + 0.9 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2.1x-0.8y=-9$$

Suma \frac{4y}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2.1x=0.8y-9$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.1, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{21}\left(0.8y-9\right)$$

Multiplica \frac{10}{21} por \frac{4y}{5}-9.

$$x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}$$

Substitúe x por \frac{8y}{21}-\frac{30}{7} na outra ecuación, 0.7x+0.9y=4.

$$0.7\left(\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}\right)+0.9y=4$$

Multiplica 0.7 por \frac{8y}{21}-\frac{30}{7}.

$$\frac{4}{15}y-3+0.9y=4$$

Suma \frac{4y}{15} a \frac{9y}{10}.

$$\frac{7}{6}y-3=4$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{6}y=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=\frac{8}{21}y-\frac{30}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{21}\times 6-\frac{30}{7}$$

Multiplica \frac{8}{21} por 6.

$$x=\frac{16-30}{7}$$

Suma -\frac{30}{7} a \frac{16}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.1&-0.8\\0.7&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.9}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&-\frac{-0.8}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\\-\frac{0.7}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}&\frac{2.1}{2.1\times 0.9-\left(-0.8\times 0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}&\frac{16}{49}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{49}\left(-9\right)+\frac{16}{49}\times 4\\-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{6}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2.1x-0.8y=-9,0.7x+0.9y=4$$

Para que \frac{21x}{10} e \frac{7x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.1.

$$0.7\times 2.1x+0.7\left(-0.8\right)y=0.7\left(-9\right),2.1\times 0.7x+2.1\times 0.9y=2.1\times 4$$

Simplifica.

$$1.47x-0.56y=-6.3,1.47x+1.89y=8.4$$

Resta 1.47x+1.89y=8.4 de 1.47x-0.56y=-6.3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$1.47x-1.47x-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

Suma \frac{147x}{100} a -\frac{147x}{100}. \frac{147x}{100} e -\frac{147x}{100} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-0.56y-1.89y=-6.3-8.4$$

Suma -\frac{14y}{25} a -\frac{189y}{100}.

$$-2.45y=-6.3-8.4$$

Suma -6.3 a -8.4 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-2.45y=-14.7$$

Divide ambos lados da ecuación entre -2.45, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 0.7x+0.9y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.7x+0.9\times 6=4$$

Multiplica 0.9 por 6.

$$0.7x+5.4=4$$

Resta 5.4 en ambos lados da ecuación.

$$0.7x=-1.4$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$