Resolver {l}{2y-8=-x}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 8 = - x } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$2y-8+x=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y+x=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y+x=8$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$2y=-x+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-x+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -x+8.

$$y=-\frac{1}{2}x+4$$

Substitúe y por -\frac{x}{2}+4 na outra ecuación, 3y+4x=7.

$$3\left(-\frac{1}{2}x+4\right)+4x=7$$

Multiplica 3 por -\frac{x}{2}+4.

$$-\frac{3}{2}x+12+4x=7$$

Suma -\frac{3x}{2} a 4x.

$$\frac{5}{2}x+12=7$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}x=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en y=-\frac{1}{2}x+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -2.

$$y=1+4$$

Suma 4 a 1.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$2y-8+x=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y+x=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{1}{2\times 4-3}\\-\frac{3}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$2y-8+x=0$$

Engadir 8 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2y+x=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y+x=8,3y+4x=7$$

Para que 2y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2y+3x=3\times 8,2\times 3y+2\times 4x=2\times 7$$

Simplifica.

$$6y+3x=24,6y+8x=14$$

Resta 6y+8x=14 de 6y+3x=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y+3x-8x=24-14$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-8x=24-14$$

Suma 3x a -8x.

$$-5x=24-14$$

Suma 24 a -14.

$$-5x=10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en 3y+4x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y+4\left(-2\right)=7$$

Multiplica 4 por -2.

$$3y-8=7$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$3y=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=-2$$