Resolver {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y-3x=-27$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$2y=3x-27$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Substitúe y por \frac{-27+3x}{2} na outra ecuación, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Multiplica 5 por \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Suma \frac{15x}{2} a 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Suma \frac{135}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{21}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Suma -\frac{27}{2} a \frac{21}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-3,x=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Para que 2y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Simplifica.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Resta 10y+6x=12 de 10y-15x=-135 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Suma 10y a -10y. 10y e -10y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15x-6x=-135-12$$

Suma -15x a -6x.

$$-21x=-135-12$$

Suma -135 a -12.

$$-21x=-147$$

Divide ambos lados entre -21.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en 5y+3x=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y+3\times 7=6$$

Multiplica 3 por 7.

$$5y+21=6$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=7$$