Resolver {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=10$$

$$y=-10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y-2x=-40$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$2y=2x-40$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -40+2x.

$$y=x-20$$

Substitúe y por x-20 na outra ecuación, 2y+3x=10.

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

Multiplica 2 por x-20.

$$2x-40+3x=10$$

Suma 2x a 3x.

$$5x-40=10$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$5x=50$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en y=x-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=10-20$$

Suma -20 a 10.

$$y=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-10,x=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-10,x=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Resta 2y+3x=10 de 2y-2x=-40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-3x=-40-10$$

Suma -2x a -3x.

$$-5x=-40-10$$

Suma -40 a -10.

$$-5x=-50$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en 2y+3x=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+3\times 10=10$$

Multiplica 3 por 10.

$$2y+30=10$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-10,x=10$$