Resolver {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{1} mediante o illamento de x_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Resta 3x_{2} en ambos lados da ecuación.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Substitúe x_{1} por \frac{-3x_{2}+7}{2} na outra ecuación, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Multiplica 4 por \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Suma -6x_{2} a -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$-10x_{2}=-20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x_{2}=2$$

Substitúe x_{2} por 2 en x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Para que 2x_{1} e 4x_{1} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Simplifica.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Resta 8x_{1}-8x_{2}=-12 de 8x_{1}+12x_{2}=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Suma 8x_{1} a -8x_{1}. 8x_{1} e -8x_{1} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Suma 12x_{2} a 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Suma 28 a 12.

$$20x_{2}=40$$

Divide ambos lados entre 20.

$$x_{2}=2$$

Substitúe x_{2} por 2 en 4x_{1}-4x_{2}=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Multiplica -4 por 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$4x_{1}=2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$