Resolver {l}{2x-y=6}{3x-2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+3 na outra ecuación, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+3\right)-2y=4$$

Multiplica 3 por \frac{y}{2}+3.

$$\frac{3}{2}y+9-2y=4$$

Suma \frac{3y}{2} a -2y.

$$-\frac{1}{2}y+9=4$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=\frac{1}{2}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+3$$

Multiplica \frac{1}{2} por 10.

$$x=5+3$$

Suma 3 a 5.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-4\\3\times 6-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Simplifica.

$$6x-3y=18,6x-4y=8$$

Resta 6x-4y=8 de 6x-3y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-3y+4y=18-8$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+4y=18-8$$

Suma -3y a 4y.

$$y=18-8$$

Suma 18 a -8.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en 3x-2y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 10=4$$

Multiplica -2 por 10.

$$3x-20=4$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$3x=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=10$$