Resolver {l}{2x-y=5}{3x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5+y}{2} na outra ecuación, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+4y=2$$

Multiplica 3 por \frac{5+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+4y=2$$

Suma \frac{3y}{2} a 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -1.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -\frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=5,3x+4y=2$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Simplifica.

$$6x-3y=15,6x+8y=4$$

Resta 6x+8y=4 de 6x-3y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-3y-8y=15-4$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-8y=15-4$$

Suma -3y a -8y.

$$-11y=15-4$$

Suma 15 a -4.

$$-11y=11$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 3x+4y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-1\right)=2$$

Multiplica 4 por -1.

$$3x-4=2$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$