Resolver {l}{2x-y=3}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=3,x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3+y}{2} na outra ecuación, x+y=3.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=3$$

Suma \frac{y}{2} a y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=3$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=3,x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=3,x+y=3$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x-y=3,2x+2y=2\times 3$$

Simplifica.

$$2x-y=3,2x+2y=6$$

Resta 2x+2y=6 de 2x-y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-y-2y=3-6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-2y=3-6$$

Suma -y a -2y.

$$-3y=3-6$$

Suma 3 a -6.

$$-3y=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+1=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=1$$