Resolver {l}{2x-y=2}{6x-y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 6 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+1 na outra ecuación, 6x-y=-2.

$$6\left(\frac{1}{2}y+1\right)-y=-2$$

Multiplica 6 por \frac{y}{2}+1.

$$3y+6-y=-2$$

Suma 3y a -y.

$$2y+6=-2$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{1}{2}y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+1$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4.

$$x=-2+1$$

Suma 1 a -2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

Resta 6x-y=-2 de 2x-y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-6x-y+y=2+2$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-6x=2+2$$

Suma 2x a -6x.

$$-4x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$-4x=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 6x-y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$6\left(-1\right)-y=-2$$

Multiplica 6 por -1.

$$-6-y=-2$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-y=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-4$$